鲁班锁起源及数学拆解原理

  鲁班,姓公输,名班,春秋战国时期鲁国人,里籍滕州。一生发明了斧、锯等木工器械,碾、磨等生活用品,留下了无数桥涵楼阁等建筑物,是世上杰出的工匠,发明家,与墨子同乡同代的平民圣人,百工圣祖。

  鲁班的生日,相传是农历六月十三(又说是五月初七),民间称鲁班节。比如,挂一张“鲁班先师”像,烧香祭拜。隆重一点的,这一天成为行业公休日,要到鲁班殿进行香火奉祀。此外,还要舞狮子、开花会,献艺娱神,并设摊买卖,形成热闹的庙会。而平常土木行业的议事、收徒等活动也在鲁班殿(又叫祖师殿、鲁班庙)进行。据说,当时永乐皇帝朱棣迁都

  鲁班锁

  鲁班文化

  鲁班锁,也叫八卦锁、孔明锁,曾广泛流传于中国民间的智力玩具。是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,民间还有“别闷棍”“六子联方”“莫奈何”“难人木”等叫法。不用钉子和绳子,完全靠自身结构的连接支撑,就像一张纸对折一下就能够立得起来,展现了一种看似简单,却凝结着不平凡的智慧。

  为什么鲁班锁又跟三国的孔明、阴阳八卦之术挂上勾呢?其中又有什么样的原由,让我们紧接下文一起慢慢了解。

  第一种传说,在三国时期孔明把鲁班的这种发明制成了一种玩具——孔明锁。相传是三国时期诸葛孔明根据八卦玄学的原理发明的一种玩具,曾广泛流传于民间。逐渐得到人们的重视,它对放松身心,开发大脑,灵活手指均有好处。它是老少皆宜的休闲玩具。孔明锁看上去简单,其实内中奥妙无穷,不得要领,很难完成拼合。

  另外一种传说是:传说春秋时代鲁国工匠鲁班为了测试儿子是否聪明,用6根木条制作一件可拼可拆的玩具,叫儿子拆开。儿子忙碌了一夜,终于拆开了。这种玩具后人就称作鲁班锁。

  其实这只也只是一种传说,鲁班锁真正起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构。这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙。原创为木质结构,外观看是严丝合缝的十字立方体。 而孔明锁类玩具比较多,多为形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装。拼装时需要仔细观察,认真思考,分析其内部结构。它有利于开发大脑,灵活手指,是一种很好的益智玩具。

  其实为了弘扬鲁班传统文化,传承大国工匠精神,让鲁班的匠人匠心形象更加深入人心,接过新时代接力棒,传承鲁班精神。不少地方都还举办鲁班文化节鲁班锁大赛,虽然可惜的是,鲁班节在时代的冲击下已热闹不在。但我相信,鲁班的名字仍是古代劳动人民的智慧象征,而其中的工匠精神,仍会在每个木艺行业流传。

鲁班锁数学计算拆解原理

  第一种计算方法:

  如下图所示。有表面露在外面的部分可以分成几种不同的类型。图中绿色标出的为一个单位正方体,这种正方体一共有12个(上2,下2,左2,右2,前2,后2),它们都处于鲁班锁的最外端。它们的体积之和是12。接着,图中以黄色标出的是一个小长方体,它的体积为正方体的四分之一,处于角落处。这样的小长方体一共有12个(每根上面有两个),加起来体积一共是12×(1/4)=3

  然后计算没有表面露在外面那部分的体积。分成两种类型。一种是有“边”露在外面。我们先找出一个这种类型的代表。如下图所示,它不容易在原图中画出来,所以我把它画到了图的外面右侧。图中的两条青色线段(有一条是MN)是露出来的两条边,从而我们便可以定位出这个被压在里面的“半方块”。它是一个正方体的一半大小,位于C、D两块的上面,同时被压在A和B的下面,但它却是E的一部分。这样的半方块有6个(两两相对),所以一共体积为6×(1/2)=3。最后,应该很容易想到,最中间有一个只有四个顶点将将露出来的一个单位正方体,当然,它的体积为1

  于是,上图的鲁班锁的总体积为:12 + 3 + 3 + 1 = 19

  它比原六根完整方柱的总体积24少了5个单位体积。请记住这个5。

  第二种计算方法(容斥原理):

  如下图所示。A和B并排放到一起当成一个整体,C和D也这样成为一个整体,E和F也成为一个整体。三个整体的体积都是8。对应于右图(文氏图)中的三个圆。每两个整体的公共部分是两个单位正方体,这相当于右边文氏图中的一个枣胡儿形(红色1加上黑色1)。鲁班锁正中间的那个完全隐藏起来的单位正方体,就相当于右边文氏图中中间那个曲边三角形1。左边鲁班锁的体积就是右边文氏图三个圆的并集。

  为方便起见,我们设A+B=X,C+D=Y,E+F=Z,并且简单地用字母本身表示它的大小。于是,根据容斥原理,有

  (A+B)∪(C+D)∪(E+F)

  = X∪Y∪Z

  = X+Y+Z-X∩Y-Y∩Z-Z∩X+X∩Y∩Z

  = 8+8+8-2-2-2+1

  = 19

  以上用了两种方法求出了鲁班锁所占据空间的体积,都为19。这都说明鲁班锁占用的空间比原六根完整方柱的体积之和小5个单位体积。下面看一下拆开后六个方柱的样子(我已经学会组装它了,所以拆开了就不怕装不回去了)。我们来计算一下一共被挖掉了多大的体积。

  实际的鲁班锁6根方柱其实是这样的,它们的维度都是1×1×4。

  其中第一根是完整的,它是组装过程中最后组装上的。我们计算一下六根方柱被挖掉部分的总体积。上图中从上到下被挖体积分别为:

  0

  1

  1.25

  1

  0.875

  0.875

  加在一起等于:0 + 1 + 1.25 + 1 + 0.875 + 0.875 = 5

  即一共被挖掉了5个单位体积。被挖前,6根完整的方柱的体积为24,挖掉它们的5个单位体积后,还剩下的体积为19个单位正方体。也就是说,鲁班锁实际用材的体积为19。而前面计算出来的未拆鲁班锁占据空间的体积也为19。这就说明了,鲁班锁中间是没有任何空隙的。

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